Chun-Ju Lai

半單李代數表現導論

In Homological Algebra, Lie Algebra, Math on 2011/02/09 at 6:54 AM

我整理了 Humphreys 和其他參考資料 想寫一篇 半單李代數表現論的講義
http://tinyurl.com/4d7wtb8

目前還差 translation functor 的部分

以下是中文序: 什麼是”李代數表現論”

1. 李代數

    講李代數是什麼也需要一些篇幅 這裡先不提
    不知道的人只要知道它是一種數學結構就好了

    看李代數 $\mathfrak{g}$, 一個 F-Lie algebra representation 就是個 Lie homomorphism

            $\rho: \mathfrak{g} \rightarrow \text{gl}(V)$

        其中 gL(V) 是 F-vector space V 的 linear map 的集合
        F 是一個 field, 通常我們要他是 complex number $\mathbb{C}$

    也就是說
    我們把每一個李代數中的元素都賦予一個 linear map
    有限維的 linear map 便可以寫成矩陣
    就可以讓李代數作用由矩陣的特性看得清清楚楚

    表現論中一個標準的習題就是把 representation 寫成 module 的語言
    也就是把 vector space V 看成 Lie module,
    帶有 $\mathfrak{g}$ 的作用如

       $\begin{array}{ccccc}\mathfrak{g}& \times& V & \rightarrow & V\\(x&,&v) & \mapsto & \rho(x)(v)\end{array}$

    容易證明反之亦然
    李代數表現論就是要研究 Lie modules
    在不同的設定下 Lie modules 的分類有截然不同的樣貌與應用

    一個重要的切入點就是研究 $U(\mathfrak{g})$-modules
    其中 $U(\mathfrak{g})$ 是 $\mathfrak{g}$ 的 universal enveloping algebra

2. Category O

    我們要看一類特別的 $U(\mathfrak{g})$-modules
    這裡我們設定 $\mathfrak{g}$ 是 semisimple over $\mathbb{C}$
        a) 因此 $\mathfrak{g}$ 有 Cartan 分解
            $\mathfrak{g} = \mathfrak{h} + \mathfrak{n} + \mathfrak{n}_-$
        b) 因此 $\mathfrak{g}$ 的 Killing form is non-degenerate
            可以給出 Killing isomorphism
            $\nu: \mathfrak{h} \rightarrow \mathfrak{h}^*$

    O 就是 $U(\mathfrak{g})$-modules 這個 Category 的 full subCategory
    其中他的 objects 滿足三個條件

        O1) M in O 有限生成         即  $M = \sum U(\mathfrak{g})m_i$

        O2) M in O is $\mathfrak{h}$-semisimple  即  $M = \bigoplus M_\lambda: \lambda \in \mathfrak{h}*$
                                        可寫成 direct sum of vector spaces
                                        每個 $M_\lambda$ 是 \mathfrak{h}-weight space

        O3) M is locally $\mathfrak{n}$-finite   即  $U(\mathfrak{n})v$ 維度有限 for all $v$ in $M$

    由 PBW 定理, $U(\mathfrak{g}) \simeq U(\mathfrak{n}_-)U(\mathfrak{h})U(\mathfrak{n})$
    所以

        $\begin{array}{lll}M& = \sum U(\mathfrak{g}) m_i &\text{by }O1\\ &= \sum U(\mathfrak{n}_-)U(\mathfrak{h})U(\mathfrak{n}) m_i &\text{by PBW Thm} \\ &= \sum U(\mathfrak{n}_-)U(\mathfrak{h}) v_i &\text{by }O3\\ &= \sum U(\mathfrak{n}_-) v_i &\text{by }O2\end{array}$

    這些條件恰好說明了:

    任何 module M 都可看成 sum of weight spaces
    任何 weight space $M_\mu$ 都落在某個 $U(\mathfrak{n}_-) v_i$ 裡面
    若 $v_i$ 有 weight $\lambda_i$
    則 $\mu$ 就會等於 $\lambda_i$ 減去某些 positive roots

    所以 M 的 set of weights 會被 “有限個” highest weight 所”籠罩”

3. Composition factor multiplicity

    可以證明 O is Artinian
        即 所有 descending chain of module 都會停下來
    所以一直找最大的 proper submodule 並 quotient 掉
    可以得到一個 finite filtration of modules

        $M = M_0 \supset M_1 \supset M_2 \supset \cdots \supset M_n = 0$    $M_i/M_{i+1}$ is simple

    又我們可以證明任何 O 中的 simple module 都會同構於 $L(\lambda)$ for some $\lambda$
        即 Verma module $M(\lambda)$ 的 unique simple quotient

    所以上面的 filtration 中每一個 subquotient 都形如 $L(\mu_i)$
    我們便可 well-define composition factor multiplicity

        $[M:L(\mu)]$ 代表 $L(\mu)$ 在 M 的 filtration 的 subquotients 中出現幾次

4. Blocks of O

    又我們可以證明 O is Noetherian
        即 所有 Ascending chain of module 都會停下來
    由 KRS 定理我們知道 M in O 可以寫成 indecomposable modules 的 direct sum
    所以我們便可以定義 block of O

    兩個 simple modules L,L’ 在同一個 block
        <=> 存在 simple modules $L_1 \sim L_n$ (令 $L_1=L$, $L_n=L’$)
            使得 for all i 都有 non-trivial extension of $L_i$ by $L_{i+1}$
            (存在 non-split exact seq $0 \rightarrow L_i \rightarrow E \rightarrow L_{i+1} \rightarrow 0$)

    也就是說
    我們把那些 homological related, 也就是有 non-trivial extensions 的
    simple modules 以及它們擴張成的 modules 都擺在同一個 block

    因此任何 modules M 都可以寫成不同 block 中元素的 direct sum

    因為任何 highest weight module 都 indecomposable
    特別看 $M(\lambda)$ 也是, 所以 $M(\lambda)$ 的所有 composition factors 都落在同個 block

    因為 Verma module 是 highest weight modules 的 universal object
    所以我們轉向研究 $[M(\lambda):L(\mu)]$

5. Central Characters

    猶記在有限維 Lie modules 分類理論中關鍵的想法是 Casimir element c in $Z(\mathfrak{g})$
    (注意 $Z(\mathfrak{g})$ 表示 $U(\mathfrak{g})$ 的 center, 不是 $\mathfrak{g}$ 的 center)
    它的好處是 c 在整個 module 上的作用都是 scalar multiple

    我們不巧發現, 在 highest weight modules M of weight $\lambda$ 上,
    看 v in M of weight $\lambda, z \in Z(\mathfrak{g})$ 都有

        $h\cdot(z\cdot v) = z\cdot(h\cdot v) = \lambda(h) z\cdot v$

    也就是說 $z\cdot v$ 也落在 1-dim weight space $M_\lambda$ 中
    因此每一個 z in $Z(\mathfrak{g})$ 作用在 v 上都是一個 scalar multiple !
    蒐集起來 記錄他成 central character

        $\chi_\lambda: Z(\mathfrak{g}) \rightarrow \mathbb{C}$, 滿足 $z\cdot v = \chi_\lambda(z) v$

    特別地, 看 g in $U(\mathfrak{g})$ 有

         $z\cdot(g\cdot v) = g\cdot(z\cdot v) = \chi_\lambda(z) g\cdot v$

    所以每一個 z in $Z(\mathfrak{g})$ 作用在整個 M 上都是同一個 scalar multiple !

    如果 $[M(\lambda):L(\mu)] \neq 0$
    那麼 for all z in $Z(\mathfrak{g})$ 作用在 subquotient $L(\mu)$ 的部份時
    倍數既是 $\chi_\lambda(z)$ 又要是 $\chi_\mu(z)$
    因此 $[M(\lambda):L(\mu)] \neq 0$ implies $\chi_\lambda = \chi_\mu$

6. Harish-Chandra Theorem

    定理的內容是:
    $Z(\mathfrak{g})$ 同構於 $S(\mathfrak{h})^W$, 以 $\mathfrak{h}$ 為變數的對稱多項式中的 W-invariant part.

    雖然 Harish-Chandra Theorem 的敘述第一眼看起來很難親近
    但是用他我們就可以直接描述 central character 的充要條件是

        $\lambda = w(\mu+\rho)-\rho$ for some w in Weyl group W

    基於這一點, 我們就可以進一步探討 $[M(\lambda):L(\mu)] \neq 0$ 的充要條件

7. $[M(\lambda):L(\mu)] \neq 0$ 的充要條件

    其中一邊是 Verma 1966 年的博士論文
    把上面的條件稍微推廣, 得

        $\mu\uparrow\lambda \Rightarrow [M(\lambda):L(\mu)] \neq 0$

    反方向則是 Berstein-Gelfand-Gelfand 的定理

    Verma 定理需要瞭解 Verma module 什麼情況下也是 simple module
    先論述 integral case 再套以 Zariski-density argument 得證

    BGG 定理原本的證明很雜
    我們用 Jantzen filtration 便可以一下子就做出來

    不過要證明 Jantzen filtration 存在也是需要一番功夫
    要先證明 Shapovalov element 存在
    再以此證明 Shapovalov Determinant formula
    便能確實的造出 Jantzen filtration layer 中的 contravariant forms

8. 解 $[M(\lambda):L(\mu)]$

    這個問題的答案最後由 Jantzen 給出

       $[M(w\cdot\lambda):L(x\cdot\lambda)] = P_{w_\circ w, w_\circ x}(1)$

    其中 $P_{w,x}(q)$ 為 Kazhdan-Lusztig polynomials
    這個證明需要用到困難的幾何技術 (D-modules, perverse sheaves)

9. homological methods

    知道 composition factor multiplicities 之後
    最後一步就是要研究這些 simple modules 可以怎麼樣 extend 成大一點的 module
    也就是要研究 group of extensions

        $\text{Ext}_O(M,N) := \{\text{extensions }0 \rightarrow M \rightarrow E \rightarrow N \rightarrow 0 \}$

    我們自然需要 O 中的 projectives
    因此我們證明了 O 中有 enough projectives, projective cover 為

        $P(\lambda) \twoheadrightarrow M(\lambda) \twoheadrightarrow L(\lambda)$

    並證明 BGG reciprocity

        $(P(\mu):M(\lambda)) = [M(\lambda):L(\mu)]$

    前者代表 $M(\lambda)$ 在 $P(\mu)$ 的 Verma flag 的 subquotients 中出現了幾次

    同時我們也研究三個重要的 exact functors in O:

    1) Tensoring 有限維 module
    2) “Restricted” dual module
    3) Translation functor

    這些同調代數方法能讓我們更瞭解 modules in O

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