Chun-Ju Lai

[轉錄] 數學教育與騎腳踏車 – 翁秉仁

In Math on 2011/02/09 at 7:28 AM

翁秉仁(台大數學系)

這些年來的小學數學教育改革,逐漸在淡化計算的重要性,美其名為強調數學的理解與生
活的應用。每當教學時數不夠時,就要削減枯燥的計算與相關練習的份量。當小朋友無法
負荷計算時,則藉新科技的威名,要學生使用電算器。這些說法都有局部的道理,但是整
個拼湊起來,就是有點問題。本文主要是想說明,這樣的作法,並沒有辦法培養學生的數
學能力,進行真正實用的解題應用。其關鍵就在於整塊拼圖板上,少了國小數學教育最關
鍵的一塊拼圖─計算能力。

小朋友怎麼學騎腳踏車
    觀察小朋友學騎腳踏車,對(數學)教育工作者是一個很有啟發性的過程:

教小孩騎腳踏車,經常得先有伏筆,也許家長先讓他騎騎安全的三輪車,可以到處遊走,
或是家長騎著腳踏車載著他到處去逛,享受自由的樂趣,製造他學習的動機。

正式學習腳踏車的過程,開始經常都很混亂,這牽涉到小朋友本身的身心狀況、教與學的
溝通方式、各式各樣怎麼快速學會腳踏車的秘方。有些小朋友很快就學會,有些則是因為
連番受挫(摔跤、挨罵),乾脆將腳踏車束之高閣。但是學騎車大概有幾點共通的想法:
從與小朋友體型配合的車子學起;在空曠的地方學;家長必須要有耐性,但是不能焦慮;
找到恰當的教學門徑;知道小朋友學騎腳踏車,最常犯的錯誤。但是顯然的,並不是一定
要具足這些條件,才能學腳踏車,小朋友的動機與韌性,經常能夠克服惡劣的學習條件。
而且沒有家長會教小朋友先理解騎腳踏車的動力學原理,事實上,理不理解一點關係都沒
有。

剛學會騎腳踏車並不算真的學會,不然我們就不會遇到許多自稱會騎車的大朋友,騎起車
來卻險象環生。一般來說,能夠開始騎車的小朋友,多半都會對這個賜給自己自由的新工
具躍躍欲試。於是,當小朋友開始能搖搖晃晃自己上車、起動、出發後,家長就應該帶著
他到處晃,讓他在練習中理解自己車子的性能、一般的路況(路面、坑洞、上下坡、轉彎
、寬窄)、與其他人車的互動。經過相當的練習與「出事」後,小朋友才能真正掌控整個
騎車的感覺,而且開始在騎車時,耍出各種爸媽看了提心吊膽,自己得意萬分的花招。

光是知道怎麼騎車是不夠的,而是那種能夠讓騎車與環境產生一種純熟一體的默契感,才
足以稱之為車感。只有這樣的車感,才能夠整個被轉移到大腦的記憶中,變成宛如天生的
一種延伸的肢體感。不只可以讓他隨時騎車遨遊,而且就算是臨時換一部陌生的車子,也
能很快地駕馭它,甚至日後改騎機車、開車時都有一定的助益。

腳踏車是一種工具,但靈活的車感很難說成只是一種工具。它是一種經由學習卻近乎天生
的能力;它是一種人類限制的解放,一種自由,一種信心;它更是一種博藍尼(M.
Polanyi)所說的默會知識(tacit knowledge),它純熟到潛入我們的意識底層,在背景
中默默支援著我們其他焦點知識的習得。默會知識越豐富,所能連結與體認的新知識就越
多,學習也越容易。

如果大人仔細反省一下自己的能力,有多少稱得上是純粹天生的?到底有多少「天生」的
能力,其實只是已經遺忘的學習痕跡。俗語常說的「熟能生巧」,十分警要。許多事情要
「巧」才有好處,而「巧」的前提就是要「熟」。我們的能力,有相當多都是經過類似騎
腳踏車這樣的過程建立起來的,其中又以語言與計算是其中最具一般性的重要能力。

範例:乘法的腳踏車
    套用騎腳踏車的過程到乘法計算的學習上,有許多驚人的神似之處,相當程度掌握了
計算之所以重要的精髓,讓筆者將它整段「翻譯」過來:

教小孩學乘法計算,經常得先有伏筆,我們先讓他學習加法、連加法、幾個一數,讓他在
生活上可以應用,或是大人可以帶著小朋友到店裡去購物、點數,讓小朋友知道乘法的神
奇,並製造他學習的動機。

正式學習乘法的過程,開始經常都很混亂,這牽涉到小朋友本身的身心狀況、教與學的溝
通方式、各式各樣怎麼快速學習乘法的秘方。有些小朋友很快就能學會,有些則是因為連
番受挫(算錯、太慢、挨罵),乾脆將乘法束之高閣。但是學乘法計算大概有幾點共通的
想法:先從九九乘法學起;要有寬裕的時間;教師或家長必須要有耐性,但是不能焦慮;
要找到恰當的教學門徑;知道小朋友學乘法時,最常犯的錯誤。但是顯然的,並不是一定
要具足這些條件,才能學乘法,小朋友的動機與韌性,經常能夠克服惡劣的學習條件[1]
。而且沒有教師會教小朋友先理解乘法的數學原理(指乘法計算的分配律原理),事實上
,理不理解一點關係都沒有。

剛學會乘法並不算真的學會,不然我們就不會遇到許多自稱已經學過乘法的學生[2],算
起乘法來還是險象環生。一般來說,開始學會乘法的小朋友(尤指九九乘法),多半都會
對這個賜給自己自由的新工具躍躍欲試。於是,當小朋友開始能一步步慢慢計算後,教師
就應該盡量提供他各式各樣的練習與應用機會,讓他在練習與應用中理解乘法的意義、乘
法計算的內在技巧,以及乘法在日常生活中各式各樣的應用。經過相當的練習與犯錯後,
小朋友才能真正掌控整個乘法計算的感覺,開始在計算問題時,耍出各種爸媽看了也自嘆
不如,自己得意萬分的花招。

光是知道何謂乘法計算是不夠的,而是那種能夠讓(乘法)計算的內部連結與外部應用產
生一種純熟一體的默契感,才足以稱之為數字感。只有這樣的數字感,才能夠整個被轉移
到大腦的記憶中,變成宛如天生的一種延伸的心智能力。不只可以讓他隨時都能計算,而
且就算是學習看似陌生的除法時,也能很快地駕馭它,甚至日後改學分數、小數甚至實數
時都有一定的助益。

計算是一種工具,但計算能力很難說成只是一種工具。它是一種經由學習卻近乎天生的能
力;它是一種人類限制的解放,一種自由,一種信心;它更是一種博藍尼所說的默會知識
,它潛入我們的意識底層,在背景中默默支援著我們其他(數學)知識的習得。

這樣的「翻譯」,在細節上當然有不如人意的地方[3],不過它相當程度地反應出計算能
力習得的過程與要件,以及掌握計算前後那種判若雲泥的差別。

帶過小孩學習九九乘法的家長,大概都經歷過一段類似教小孩騎車的過程(除非是強迫背
誦)。起初小朋友會想盡辦法用連加法去計算一個倍數問題,不管加幾次他也不在乎,而
且可能會對九九乘法表這種死背的東西嗤之以鼻。家長只有陪他慢慢磨,不斷威脅利誘。
最後當他終於開始背了之後[4],事情就會產生劇烈的變化,他會開始要求家長用各式各
樣的問題來「考」他,一夜之間,連加法變成石器時代的工具,差別就像「在天上飛」與
「在地上走」一般。

因此建構不背九九乘法的理念,犯了一個相當不可能的明顯錯誤,也許只能歸諸於它根深
蒂固的意識型態。用騎腳踏車來比方,一般家長再怎麼樣不會教,沒有耐性,但是他們可
都很清楚騎腳踏車與走路的差別是什麼。結果,被他們託付來教小孩騎腳踏車的教師,卻
有耐性或散漫到只要求學生摸摸車子;騎個兩三下就下車;不管到哪裡,你要走要跑都行
,只要能到就好;真的太慢了,就用遊覽車來載(即電算器)。你說學生不知道腳踏車,
他還真摸過看過;你說學生不懂騎腳踏車,教師說我有講解過騎車的原理是什麼。你說學
生不會騎,他也能騎個兩三步搖搖晃晃;你說學生不能到處自由探索,他說自由得很,走
路就行;走不動,就派遊覽車專車接送。會騎腳踏車的家長怎麼想都不對勁,卻又說不出
個名堂。其實說穿了,就是這樣根本不能稱為學會騎腳踏車。這些學生缺乏能自我掌控的
流暢車感,也就是上路之後那一大段熟習路況、練習與摔跤的過程。

計算為什麼重要

到底在小學時期的數學,是理解比較重要?還是計算比較重要?在網路的BBS上,筆者曾
經看過類似這樣的一段文字「我們的小孩為什麼要學計算背公式,那是想要變成專家、數
學家的人學的,我們的小孩只要理解數學就可以了。」這段話,大概會讓所有的數學家張
目結舌、跌破眼鏡,因為泛泛來說,大概只有數學家認為自己是理解數學的,而背公式這
種事才是非數學專業的人該作的事。不過更公允地意見是,在小學階段[5],計算絕對不
可能比理解更不重要。因為不管是就實用的觀點、心智訓練的觀點、甚至就理解的觀點來
說,計算能力都處於核心的位置。用更嚴峻的話來說,光靠「理解」根本不可能理解數學

這位家長的留言,當然也反映出舊日數學教育的缺點,傳統教育可能讓這位家長在日常生
活的數學應用上,比現在的小孩純熟,但是過多的背誦、練習,也讓他視數學為畏途,有
朝一日當他開始帶小孩讀數學時,才慢慢發現原來過去所學的數學,其實深有道理,於是
一個太快的結論就是,我們應該教小孩學習理解數學,而不是去背誦過去那種冰冷的公式
,公式就留給那些數學怪人去背(因為這都是他們發明的),我們的普通小孩只要理解數
學就行了。這是一種許多人(包括教師)都可能發生卻似是而非的論點。這樣的看法,忽
視了自己的心智受惠於傳統教學的部分:上一代的學生,計算能力比較強。而且身為成人
,他們在日常生活中有許多應用數學的經驗。上一代的成人,本來就較具有深入理解基礎
數學的本錢。

在近年的數學教育潮流中,「計算」之所以一直處於弱勢,是因為這個詞被看成是附屬於
「程序」的一支,因此變成枯燥無味的東西,就像把騎腳踏車的過程支解成一段段的分解
動作,然後要求學生背起來一樣。這種學習,跟騎腳踏車根本是兩碼子事。

但是數學家所理解的計算,遠比程序要多得多,這牽涉到數學在人類史上之所以如此重要
的特殊本質─數學的抽象性、嚴格性與連結性[6]。舉例來說,我們說解題(problem
solving)是這一波數學教育改革的重心。但是解題的重點,並不在於解出一個個的特殊
問題,而是要訓練出解題的能力。這種能力之所以可能,就在於學生能從問題,找出適當
的數學「模型」、變換數學表徵,列出待求解的數學問題,並且能真得解出這個問題,這
所有的過程,都需要抽象性、嚴格性與連結性的訓練。至於解是否恰當;如何估計夠好的
解;常用方法不夠,如何尋求其他非典型的解決方法,則是更困難的課題,更需要學生有
紮實的抽象性、嚴格性與連結性的訓練。

筆者談的並不是什麼高深數學,解題的例子在日常生活中到處都是,想要從國小的數學教
育中得到好處,光是「理解」什麼是四則運算、直式計算、分數、小數、各種量等等是不
夠的。想要讓小學生慢慢體認到數學抽象性、嚴格性與連結性的好處,只有將計算的練習
與應用作為教學核心才有可能辦到。

這是因為國小數學的核心是與日常生活最相關的數與量[7],而想要建立完全的數字感,
把整數(尤其是大數)、分數、小數看成一個活生生的「世界」,我們需要體認到這些對
象的存在(抽象性)、分際(嚴格性)與關係(連結性)。這個任務只有靠各種計算的練
習與應用,才能慢慢建立。這是因為計算的對象與過程本身是抽象的,所以才能讓數的「
自主性」慢慢浮現。精確的計算本身是嚴格推理的化身,因此我們才能談正確的解,與適
用的估算;而計算也讓我們能連結各類數、連結形的性質與數的性質。

建立各種數的數感是一個漫長的過程,可能要花費數年之久。因此光靠理解概念的意義,
做少量的練習,三天捕魚、五天曬網,是遠遠不敷所需的。換句話說,光靠「理解」就想
要掌握數學的抽象性、嚴格性與連結性,是絕不可能的。

也因此,單把計算視為程序,想要減輕它的份量以換取學生的學習動機,有一種根本的危
險,就是它削足適履到把「足」走路的功能都喪失了。如果真是這樣,數學教學就會變成
沒有數學意義,自我解構了。

 理解與計算─雙贏的可能性
    在目前的數學教育中,計算是弱勢,但是如上述在國小數學教育裡,計算其實應該扮
演更核心的角色,因此筆者才會呼籲加重計算在國小數學中的份量。假設有人用「在國小
數學教育中,『理解』與『計算』兩者只能選一個,你選那個?」這種兩難的問題,來質
疑筆者,筆者一定選「計算」。因為在小學階段,學語言與學數學一樣,都是實用的考量
多於其他的考量,是要應用到日常生活去的。何況人類對事物的深刻理解,很多都是靠實
踐應用得來的。先掌握計算的能力,絕對還有餘裕回來反省理解的問題[8]。但是強調理
解,怠忽計算,絕對只會產生眼高手低的學生。

但是,這不表示筆者贊同回到所謂傳統教學的型態,光靠背誦死算當然是無法真正學好數
學的。台灣的傳統教學之所以能夠比美國同樣型態的教學要來得成功,可能還是來自我們
的教師、課本,甚至教育文化環境,更加注重解題或學以致用[9],因此枯燥的計算訓練
容易有用武之地,而美國的學生卻大概是真正的死記。這樣的優點,不該隨著社會的遷變
、教改觀念的改變而消失。注重學生的理解,也許是呼應教師權威的崩解;強調生活的應
用,也許是配合社會經濟狀況的改變,但是要超越孤立或粗淺的理解,超越典型的日常問
題的解題(這是另一種死背),真正達到小學數學的實用目的,計算是一定要回來的。
就像我們強調計算絕不只是程序,理解也不只是知道與認識。在小學數學教育中,真正的
計算與理解兩者應該是合而為一的。就像從小朋友學騎車給我們的啟示一樣,能騎車並不
算真的會騎車。更重要的是後面那個拓展空間、練習各種路況、跌倒爬起來、適應各種變
化的過程。要建立小朋友的數學能力,是一個持續、深入、有挑戰性的過程,而綱要、教
師與教科書的責任,就在提供這樣的一種整體有機的學習過程。
傳統教學是教學光譜一端,建構與九年一貫是另一端,台灣的數學教育還有很大的進步空
間。

1 這好像在講用傳統方式教學的教師或家長。
2 例如傳說中今年的建構國一生。
3 例如到底是乘法計算,還是廣義的所有計算。
4 很不幸的,這部分通常是學校老師的功勞。
5 而這實在是小學數學最重要的部分。
6 筆者並不是說這些抽象性、嚴格性與連結性本身的「美感」,是我們的教學目標。而是
如果要達到數學真正「實用」的目標,這三者都不可或缺。
7 代數還在前置經驗的階段。幾何在小學階段主要是量的性質,因此其嚴格性不表現於推
理,而是推理的化身─計算。
8 許多上一代傳統教學下出來的學生,都是這樣走過來的。
9 也許台灣當時的經濟力不足,反而在這方面扮演了正面的角色。

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