Chun-Ju Lai

淺談代數拓樸

In algebraic topology, Math, Topology on 2011/09/17 at 4:47 PM

1.
我將代數拓樸分為兩部份: 理論面與計算面

代數拓樸的出發點當然是構造拓樸空間的 homeomorphic/homotopic 不變量,
藉以區分不同的拓樸空間.

最直接的例子就是 fundamental group.

對一個 path-connected space X 來說,
我們可經由各種工具計算出他的 fundamental group
但是對我們來說, 一個 group 帶給我們的資訊太少了,
總是可以找到一些特例, 不能用 fund. group 區分.

第一步, 我們試圖推廣 fund. groups 得到一個 sequence of grps, 稱 homotopy grps

{ \pi_n(X); n = 1,2,3, … }

雖然這個很強, 但是高維 homotopy grps 實在是太難算了, 因此我們改看它的親戚 homology groups

{ H_n(X); n = 0,1,2, … }

homology groups 相對好算許多, 但是仍然有一些狀況我們不能由 homology groups分辨, 因此我們可以看 cohomology groups

{ H^n(X); n = 0,1,2, … }

雖然比 homology groups 難算一點, 但是他有 homology groups 沒有的自然的 ring structure (理由見最後), 可以給我們更多資訊, 這些 sequences of groups 便是理想的不變量

2.
Homology H_n 之所以這麼好, 有一部分應歸功於 H_n 能視為一個 functor:
也就是說, 除了給定一個 space X 我們能算出 H_n(X) 以外,
給你一個 map f:X → Y, 我們可得到夠好的 homomorphism f_*:H_n(X)\to H_n(Y)

Hatcher 的書中 Homology theory 流程如下:

a) 定義 simplicial homology groups H_n^\Delta(X)
這個定義較容易計算 homology grp, 但不易用來 induce f_*

b) 定義 singular homology groups   H_n(X)
這個定義較難計算 homology grp, 但易於用來 induce f_*

c) 證明 simplicial 和 singular homology groups 一樣

d) 證明該有的理論, 如:
T1) Good pair (X,A) 有對應的 long exact sequence
T2) Relative homology groups 有對應的 long exact sequence
T3) Homotopy Invariance
T4) Excision Theorem
T5) Mayer-Vietoris Sequences
T6) Cellular homology

e) 推廣係數的概念, 對於任何 abelian groups G 我們都可定義
homology groups with coefficients G 為

{ H_n(X;G); n = 0,1,2, … }

同樣也滿足修改過的 T1) ~ T6)

因此我們便可以發展 Universal Coefficient Theorem,
證明 H_n(X;G) 同構於兩個群的 direct sum
而這兩個群的計算不牽涉到 \mathbb{Z} 以外的 coefficients!

3.
這邊常常會混淆的是定義

形式上來說, 只要給定一個 complex, 也就是一串夠好的 free abelian groups

\cdots\overset{d_{n+1}}{\to} C_n\overset{d_{n}}{\to}\cdots\to C_1\to C_0\to 0

就可以定義一群 “某某” homology groups H_n(C) for all n 為

H_n(C):= \text{ker}(d_n)/\text{Im}(d_{n+1})

換句話說, homology groups 可以量度這個 complex 要成為 exact sequence 的障礙

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例 1
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最簡單的 nontrivial 例子應該是單位圓 S^1
它的某個 complex 算出來是

0\overset{d_{2}=0}{\to}\mathbb{Z}\overset{d_{1}}{\to}\mathbb{Z}\overset{d_{0}}{\to}0
我們有 ker d_0 = \mathbb{Z}  ; Im d_1 = 0   故 H_0(S^1) = \mathbb{Z}
ker d_1 = \mathbb{Z}  ; Im d_2 = 0   故 H_1(S^1) = \mathbb{Z}

\begin{array}{c|c}  &\\  2&0\\  1&\mathbb{Z}\\  0&\mathbb{Z}\\  \hline  &H_*(S^1)  \end{array}

原來算 homology groups 這麼簡單啊!

不過那是因為我們已經知道 complex 長這個樣子
理解某一種 homology 下的 complex 怎麼定義 & 怎麼計算就相對困難了

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例 2
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接下來我們來算 Real projective space RP^2

它的某個 complex 算出來是

0 \overset{d_{3}}{\to} \mathbb{Z}^2 \overset{d_{2}}{\to} \mathbb{Z}^3 \overset{d_{1}}{\to} \mathbb{Z}^2 \overset{d_{0}}{\to} 0
其中 d_2: (1,0) \mapsto  (-1,1,1) ; d_1: (1,0,0) \mapsto  (1,-1)
(0,1) \mapsto  (1,-1,1)        (0,1,0) \mapsto  (1,-1)
(0,0,1) \mapsto    0
我們有 ker d_0 = \mathbb{Z}^2 ; Im d_1 = \mathbb{Z}   故 H_0(C) = \mathbb{Z}
ker d_1 = \mathbb{Z}^2 ; Im d_2 = \mathbb{Z}^2
觀察 basis 後可算得         H_1(C) = \mathbb{Z}_2
ker d_2 = 0  ; Im d_3 = 0   故 H_2(C) = 0
\begin{array}{c|c}  \\  2&0\\  1&\mathbb{Z}_2\\  0&\mathbb{Z}\\  \hline  &H_*(RP^2)  \end{array}

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例 3
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如前所述, 不一定是要從拓樸空間開始,
我下面隨性寫一個 complex C, 也可以計算它的 homology groups

0 \overset{d_{3}}{\to} \mathbb{Z} \overset{d_{2} = *m}{\to} \mathbb{Z} \overset{d_{1} = *n}{\to} \mathbb{Z}_n \overset{d_{0}}{\to} 0

我們有 ker d_0 = \mathbb{Z}_n ; Im d_1 = 0   故 H_0(C) = \mathbb{Z}_n
ker d_1 = \mathbb{Z}  ; Im d_2 = m\mathbb{Z}  故 H_1(C) = \mathbb{Z}_m
ker d_2 = 0  ; Im d_3 = 0   故 H_2(C) = 0
\begin{array}{c|c}  \\  2&0\\  1&\mathbb{Z}_m\\  0&\mathbb{Z}_n\\  \hline  &H_*(C)  \end{array}

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所以,
所謂 singular/simplicial/cellular homology,
就是用不同的方式建立 Δ-complex (CW-complex), 再計算其 homology grps.
其定義之誇張相信每個人第一次讀都很頭痛,
但是要活用, 重點就是要用理論幫助你以較省力的方向計算拓樸不變量!

4.
Cohomology theory 顧名思義, 加了一個 co 就是 homology 的 dualized theory!
dual 何解? 就是選定一個交換群 G 作為 “係數” 之後,
從最開頭 apply \text{Hom}(-, G)

我們這樣做, 先 dualize 上面提到的 complex, 即 taking \text{Hom}(-, G),
便可得到另一個 complex

\cdots \overset{b_{n+1}}{\leftarrow} C^n \overset{b_{n}}{\leftarrow} \cdots \leftarrow C^1\leftarrow C^0 \leftarrow 0

就可以定義一群 “某某” cohomology groups H^n(C;G) for all n 為

H^n(C;G):= \text{ker}(b_{n+1})/\text{Im}(b_n)

特別以  H^n(C) 表示 G = \mathbb{Z} 的狀況

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例 1
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我們再來看單位圓 S^1, 沿用剛剛的 complex

0\overset{d_{2}=0}{\to}\mathbb{Z}\overset{d_{1}}{\to}\mathbb{Z}\overset{d_{0}}{\to}0
取其 dual, 得另一 complex (注意 \text{Hom}(\mathbb{Z},\mathbb{Z}) = \mathbb{Z})
0
0 \overset{b_{2}}{\leftarrow} \mathbb{Z} \overset{b_{1}=0}{\leftarrow} \mathbb{Z} \overset{b_{0}}{\leftarrow} 0
我們有 ker b_1 = \mathbb{Z}  ; Im b_0 = 0   故 H^1(C) = \mathbb{Z}
ker b_2 = \mathbb{Z}  ; Im b_1 = 0   故 H^0(C) = \mathbb{Z}
\begin{array}{c|c}  \\  2 &0\\  1 &\mathbb{Z}\\  0 &\mathbb{Z}\\  \hline  &H^*(S^1)  \end{array}

咦? 這樣看來 H^*(C;G) 好像沒什麼新鮮事耶,
不會就是 \text{Hom}(H_*(C),G) 吧!

當然不對, 我們來看看另外一個例子:

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例 2
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很不幸地, RP^2 的 cohomology groups 的結果長這樣:

\begin{array}{c|cc}  3 &\\  2&0&\mathbb{Z}_2\\  1&\mathbb{Z}_2&0\\  0&\mathbb{Z}&\mathbb{Z}\\  \hline  &H_*(RP^2)&H^*(RP^2)  \end{array}

我們猜 H^*(C) = \text{Hom}(H_*(C), \mathbb{Z})
在 1,2 維時 \text{Hom}(\mathbb{Z}_2,\mathbb{Z}) = 0  沒有錯
\text{Hom}(\mathbb{Z}, \mathbb{Z}) = 0

但在 3 維那邊多出了一個不速之客 \mathbb{Z}_2
….這該如何是好?

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例 3
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不過我剛剛隨便寫下的例子3 是很好算 cohomology groups 的:
看其 complex

0 \overset{d_{3}}{\to} \mathbb{Z} \overset{d_{2} = *m}{\to} \mathbb{Z} \overset{d_{1} = *n}{\to} \mathbb{Z}_n \overset{d_{0}}{\to} 0

\text{Hom}(\mathbb{Z}_n,\mathbb{Z}) = 0, 上面的 complex 取 dual 後得到

0 \overset{b_{3}}{\leftarrow} \mathbb{Z} \overset{b_{2}=*m}{\leftarrow} \mathbb{Z} \overset{b_{1}=*n}{\leftarrow} 0 \overset{b_{0}}{\leftarrow} 0

有 ker b_3 = \mathbb{Z}  ; Im b_2 = m\mathbb{Z}  故 H^2(C) = \mathbb{Z}_m
ker b_2 = 0  ; Im b_1 = 0   故 H^1(C) = 0
ker b_1 = 0  ; Im b_0 = 0   故 H^0(C) = 0

比較一下, 有

\begin{array}{c|cc}  2&0&\mathbb{Z}_m\\  1&\mathbb{Z}_m&0\\  0&\mathbb{Z}_n&0\\  \hline  & H_*(C) & H^*(C)  \end{array}

也跟我們的猜測不符.

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答案就仰賴 Universal Coefficient Theorem

H^k(C;G) = \text{Hom}_\mathbb{Z}(H_k(C), G) \oplus \text{Ext}_\mathbb{Z}(H_{k-1}(C), G)

堪稱計算 cohomology groups 的最強工具,
無論你要算係數是什麼 G 的 cohomology groups,
你只要知道 \mathbb{Z}-coefficient 的 homology groups,
就可以用 “超好計算” 的 \text{Hom}_\mathbb{Z}\text{Ext}_\mathbb{Z} 算出結果

我們回來看剛剛的例子2: RP^2

\begin{array}{c|cccc}  3 &\\  2&0&0&0&\mathbb{Z}_2\\  1&\mathbb{Z}_2&0&\mathbb{Z}_2&0\\  0&\mathbb{Z}&\mathbb{Z}&0&\mathbb{Z}\\  \hline  &H_*&\text{Hom}(H_*, \mathbb{Z})&\text{Ext}(H_*, \mathbb{Z})&H^*  \end{array}

哈哈, 答案正確!
再來看例子 3:

\begin{array}{c|cccc}  3 &\\  2 & 0& 0& 0&\mathbb{Z}_m\\  1 & \mathbb{Z}_m & 0 &\mathbb{Z}_m& 0\\  0 & \mathbb{Z}_n & 0 &\mathbb{Z}_n& 0\\  \hline  &H_*(C) &\text{Hom}(H_*(C), \mathbb{Z})&\text{Ext}(H_*(C), \mathbb{Z})&H^*(C)  \end{array}

答案不對了! O No!
但是這也不是什麼太令人傷心的事情,
畢竟那是我隨便寫下, 沒有拓樸意義的 complex
這也就是為什麼數學家要制定 axioms of homology

符合這些公理的 homology theory 就自動保證
Universal Coefficient Theorem (和其他大定理) 會對

5.
嗯, 我們知道 Cohomology groups 和 homology groups 有一些落差,
但是有什麼理由讓我們不甘於 homology theory
非要來看這個 dualized theory 呢?

答案就在於 cohomology groups 有 graded ring 的結構,
也就是我們有個 cup product

\smallsmile: H^* \times H^* \to H^* 滿足 H^k \smallsmile H^l 會落在 H^{k+l}

撇開定義的細節, 如果我們要在 homology groups 上面定 graded ring
終究會遇到一個難題, 就是要定義一個自然的, 從 X \times X 打到 X 的 map

我們從小到大也沒學過幾個這樣的 map, 了不起就只有 projection map,
然則 projection 會完全忽略掉其中一個座標的資訊,
導致這樣定出的 product 沒什麼用.

因此, 為什麼要取 dual, 理由就很充分了!
why? 反過來要定 X \to X \times X, 我們有個超級自然的 diagonal map Δ(g) = (g,g)

這也就給了我們一個自然的 graded ring structure,
不僅可以藉由 graded structure 判斷兩拓樸空間是否 homotopy equivalent,
也可以在特定 coeffient 時, 賦予 projection space RP, CP, HP 各一個
truncated polynomial 結構

最後便能證明相當美麗的 Poincare duality, 與微分拓樸連結!

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