Chun-Ju Lai

與王偉強有約 – (1) On Some Modular Representations of Affine Kac-Moody Algebras at the Critical Level

In Lie Algebra, Math, Representation on 2011/10/08 at 3:10 AM

今後以這個標題來連載選讀的 paper 摘要

On Some Modular Representations of Affine Kac-Moody Algebras at the Critical Level,
Oliver Mathieu

摘要:
對於 affine Kac-Moody algebra g, 我們有 Chevalley-Kostant Algebra U
在 char k = 0 時 U 就是正常的 universal enveloping algebra
在 modular case (char k = p > 0) 時, 要做一些變更.

類比於 Weyl character formula, Kac 和 Kazhdan 猜測,
在 char k = 0 時可以算出 simple highest weight module l(-\rho) 的 formal
character 如下

Thm 1
\text{ch}l(-\rho) = e(-\rho) \prod_{\alpha \in \Phi_{re}^+} \frac{1}{1-e(-\alpha)}

也就是說, imaginary roots 居然對 formal character 沒有貢獻!

這個結果有很多證明, 如
Wakimoto 1986 (sl2 case)
Hayashi 1988 (affine classical)
顧中民 1989 (in general)
Feigin & Frenkel 1992 (整理)

本篇 paper 證明這個公式在 modular case 也會是對的!

    Remark
1. 這篇的證明不需套用 Kac-Kazhdan formula, 證明較直接
2. 可由此得知 restricted Wakimoto module W(-\rho) is simple
3. 縱使平常 Steinberg module L((p-1)\rho) is simple on f.d. Lie algebras
但由此可知 L((p-1)\rho) is not simple on affine KM algebras

證明大綱:

1. 由 Steinberg tensor product theorem, Thm 1 與下面定理等價

Thm 2
If char k = p > 0, then
\text{ch}l((p-1)\rho) = e(-\rho) \prod_{\alpha\in\Delta_{re}^+} \frac{1-e(-p\alpha)}{1-e(-\alpha)}

2. 觀察 simple highest weight module 的結構, 把其中一部分看成 free module
因為此時這種 free module 夠好, canonically 同構於 restricted symmetric
algebra, 我們可以特別找出 Weyl group 裡面一個元素 t,
使 t-action on exponent preserves order
可構造 \Delta_\Omega according to t^n, n\geq 0
故可以寫出

\text{ch}l((p-1)\rho) = e(-\rho) \prod_{\alpha\in\Delta_\Omega}\frac{1-e(-p\alpha)}{1-e(-\alpha)}

因 formal character is W-invariant,
所以對所有 n\geq 0, 對兩邊 apply t^n 後再取極限, 就得到 Thm 2 的 “\geq
因此 Thm 1 的 “\geq” 也可用 Steinberg tensor product theorem 得到

3. 可引用 restricted Wakimoto module 的存在性,
得到 Thm 1 的 “\leq“,
因此 Thm 2 的 “\leq” 也可用 Steinberg tensor product theorem 得到

Q.E.D.

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