Chun-Ju Lai

與王偉強有約 – (2) Representations of Lie Algebras in Prime Characteristic

In Lie Algebra, Math, Representation on 2011/10/14 at 3:12 AM

Representations of Lie Algebras in Prime Characteristic,
Jens Carsten Janzten

摘要:

這是大師 Janzten 關於 modular representation theory 寫的 Review paper part I, 整篇的目的是介紹近幾十年來的研究成果, 一開始先簡單概述 modular case 和 char 0 case 的差異, 之後會發展各式理論, 把研究”reductive Lie algebra g 的 representations” reduce 成 “研究好的 restricted enveloping algebra-modules”. 最後在特別好的狀況下, 我們可以定 standard Levi form, 並給予 module 一個 X/ZI-grading, 在此 graded structure 下我們能得到許多新的資訊. 我將花幾個禮拜介紹:


以下 g 表 Lie algebra over alg. closed field K of char p > 0

1. Finiteness

簡述 modular case 和 original case 的差異
比方說 simple g-modules 的維度會被常數 N(g) bound 住
(p = 0 時 simple modules 維度要多大都可以)
Lie Theorem 也會失效

2. Restricted Lie algebras

res. Lie alg. g 就是一個 Lie alg. 配上 pth power map x \mapsto x^{[p]}
使得 “記錄 power map 和 ring 乘法 之間的差異的 map”

\xi:g\to U(g) by  x \mapsto x^p - x^{[p]}

足夠好, 也就是說, 可以定多項式環 Z_0(g):=K[\xi(g)] 落在 center Z(g) 內,
使得 U(g) 作為 Z_0(g)-module 是個 free module 並有 PBW type basis

另一方面, 仿照之前定義 weight 和 central character 的經驗,
因為 \xi(x) 落在 center 中, 故它作用在 module 上為一常數
我們蒐集 \xi(x), 便可以定出 module M 所攜帶的 p-character \chi:g\to K

在熟知的對應下

{g-modules}   \leftrightarrow {U(g)-modules}

我們便可將它細分成

{g-modules with p-char \chi} \leftrightarrow {U_\chi(g)-modules}

這裡 U_\chi(g) 便稱作 restricted enveloping algebra
U_\chi(g) 在 automorphism of res. Lie alg G':= \text{Aut}_{\text{res}}(g) 的共軛作用下同構
所以問題可以 reduce 成看 G'-orbit of \chi

3. Unipotent Lie algebras

就是 res. Lie alg. with nilpotent power map,
所以也有人叫它 p-nilpotent Lie algebra

之所以叫做 unipotent, 因為 unipotent algebraic group G 對應的 Lie algebra
Lie(G) 在這個定義下是 unipotent Lie algebra, 更嚇人一點, 在下面這個
equivalence of categories 下

{Res. Lie alg. g} \leftrightarrow {“Res.” group scheme G}

我們有 g is unipotent iff G is unipotent

我們便可用同調代數配合 Schur lemma 證明 simple U_\chi(g)-modules 只有一種!

4. Induced modules

對每個 \chi \in g^*, 我們可以定大家所熟知(…應該吧)的 induction functor \text{Ind}_\chi,
他會是一個尊重 PBW basis 的 exact functor, 也滿足 Frobenius reciprocity

用 Ind functor 我們就可以描述 modular representation theory 中的核心結構 –
baby Verma modules Z_\chi(\lambda)

此外, 也可以描述在 completely solvable Lie alg. 中, 任何 simple module 形如
\text{Ind}_\chi(K_f), 其中 K_f 是 Vergne polarization of f \in g^*, 為一特別的 1-dim
module.

Leave a Reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Change )

Connecting to %s

%d bloggers like this: