Chun-Ju Lai

與王偉強有約 – (3) Representations of Lie Algebras in Prime Characteristic

In Lie Algebra, Math, Representation on 2011/10/21 at 3:34 AM

5. sl_2(K)

這次我們把 sl_2(K) 的例子真刀真槍的算一次:
以下 g 表 Lie algebra over alg. closed field K of char p > 0

[A]

為了分類 g-modules, 前幾章證明可將它 reduce 成分類 simple U_\chi(g)-modules.

G'=\text{Aut}_{\text{res}}(g), 即是 automorphisms of g as restricted Lie algebras
即是 automorphisms of g as Lie algebras 中
尊重 pth power map 的那些自同構所形成的子群

寫出來就是

t\in G'\Leftrightarrow t(x^{[p]})=t(x)^{[p]}

所以由定義,  U_\chi(g) = U(g)/\langle\xi(x)-\chi(x)^p\rangle 可知
任何 t\in G' induces U_\chi=U_{t\chi} 其中 t\chi = \chi\circ t^{-1}
因此我們只需考慮 G'-orbit of \chi 即可

又, 代數幾何告訴我們若 g = Lie(G) for algebraic group G,
那麼我們只需考慮 G-orbit of \chi 即可

[B]

回到 g = sl_2(K), 為 SL_2(K) 對應的 Lie algebra
但我們可 identify SL_2(K)-orbit 到 G = GL_2(K)-orbit
由 Jordan form, G 中元素可 up to conjugate 寫成兩類

1) \begin{bmatrix}r&0\&s\end{bmatrix}
稱對應此共軛類的 \chi \in g^* semisimple

2) \begin{bmatrix}r&1\&r\end{bmatrix}
稱對應此共軛類的 \chi \in g^* nilpotent

因此 U_\chi(g)-modules 的分類分成三個 cases:

a) \chi=0

這是一個 Humpreys 裡面的習題, simple modules 就是 L(0), L(1), … L(p-1).

b) \chi\neq 0; \chi semisimple
c) \chi\neq 0; \chi nilpotent

Friedlander 和 Parshall 證明 eigenvalues of h-actions 為下面的個方程式的解:

\lambda^p - \lambda = \chi(h)^p

case b) 中 semisimplicity 保證解對應的 Z_\chi(\lambda) 兩兩不同構, 因此 simple
modules 有 p 種

case c) 中, 解對應的 Z_\chi(\lambda) 除了最高 weight以外兩兩成對, 因此 simple modules
有 (p+1)/2 種

這裡的 Z_\chi(\lambda) 是 baby Verma module
是 modular representation 的重要結構

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