Chun-Ju Lai

與王偉強有約 – (4) Lectures on Quantum Groups

In Lie Algebra, Math, Representation on 2011/10/27 at 4:58 PM

Lectures on Quantum Groups,
Jens Carsten Janzten


這是這學期王家班的 reading course 讀物, 本週輪我報告,
要講 Chapter 5A, 即是 explicitly 構造有用的 Quantized enveloping algebra 的 modules

令 g 為 fd complex Lie algebra
k 為 field of char 0
q 為 k 中非 0 且非 root of unity 的元素

可定 Quantized enveloping algebra U = U_q(g)
\{K_a, K_a^{-1}, E_a, F_a; a\in\Pi\} 生成

(R1) K_a K_a^{-1} = 1 = K_a^{-1} K_a; K_a K_b = K_b K_a
(R2) K_a E_b K_a^{-1} = q^{(a,b)} E_b
(R3) K_a F_b K_a^{-1} = q^{-(a,b)} F_b
(R4) E_a F_b - F_b E_a =\delta_{a,b} (K_a - \frac{K_a^{-1}}{q_a - q_a^{-1}} 其中 q_a:=q^{(a,a)/2}

(R5) \sum_{s=0}^{1-\langle b,a\rangle} (-1)^s {1-\langle b,a\rangle\choose s}_a E_a^{1-\langle b,a\rangle-s} E_b E_a^s = 0

(R6) \sum_{s=0}^{1-\langle b,a\rangle} (-1)^s {1-\langle b,a\rangle\choose s}_a F_a^{1-\langle b,a\rangle-s} F_b F_a^s = 0

我們構造 4 種 simple U-modules
並且給出 U-simple modules 描述結構面的理論

(1). Minuscule modules

\lambda\in\Lambda^+ 稱 minuscule
<=> \langle\lambda,\alpha\rangle = 0, -1 or 1 for all \alpha\in\Phi
<=> \lambda = \sum n_i w_i 其中 n_i = 0, -1 or 1; w_i 為 fundamental weights

因此 L(\lambda) 的 weight space 為 W-orbit of \lambda 且 multiplicity 都為 1
此類 modules 包含了 type A,C,D 的 natural modules

(2). Largest short root \alpha_0

看 indecomposable root sys \Phi,
基礎的 Lie theory 告訴我們 largest short root \alpha_0 唯一存在
其 weights 為 \Phi\cup\{0\}
非零 weight space 和 (1) 維度和作用都一樣
但是處理 zero weight space 稍微麻煩一些

此類 modules 包含了 type B 的 natural modules 和 type A,D,E 的 adjoint modules

(3) Adjoint modules in general

出乎意料的, 他的作用只 depends on each weight string !
知其 weights 為 \Phi\cup\{0\}
可找到一組 basis \{x_\alpha; \alpha\in\Phi\}\cup\{h_\beta; \beta\in\Pi\}

看不通過 h_\beta;\beta\neq\alpha\alpha-weight string \gamma\gamma + m\alpha,
E_\alphaF_\alpha-action 可表示成

L_\gamma \overset{1}{\underset{[m]_\alpha}{\longleftrightarrow}} L_{\lambda+\alpha} \overset{[2]_\alpha}{\underset{[m-1]_\alpha}{\longleftrightarrow}} \cdots \overset{[m]_\alpha}{\underset{1}{\longleftrightarrow}} L_{\lambda+m\alpha}

看通過 h_\beta;\beta\neq\alpha\alpha-weight string x_{-\alpha}x_\alpha
E_\alphaF_\alpha-action 可表示成

L_{-\alpha} \underset{[\langle\beta,\alpha\rangle]_\beta}{\longleftarrow} kh_\beta \overset{[\langle\beta,\alpha\rangle]_\alpha}{\longrightarrow} L_{\alpha}

(4) Symmetric power

我們可以將 m次 symmetric power of natural module of type A
表成 polynomial S[X_1,\ldots, X_{n+1}] 的 m 次齊次 subspace
可證他是 simple module L(mw_1)


(1) 和 (2) 中的 simple module 有好的性質
任意 tensor 一 simple module L(v),
可以用 Brauer formula 證明

\lambda_0 為 minuscule weight, 則
L(v)\otimes L(\lambda_0) = \bigoplus L(u+v)
其中 u\in W{\lambda_0}u+v\in\Lambda^+

\alpha_0 為 largest short root, 則
L(v) \otimes L(\alpha_0) = \left(\bigoplus L(u+v)\right) \oplus \left(\bigoplus L(v)\right)
其中 u\in W{\alpha_0}u+v\in\Lambda^+
m = \#\{\alpha\in \Pi; \langle\lambda,\alpha\rangle > 0\}

\Lambda_0 := { minuscule weights } ∪ { largest short roots }
可證任意 simple U-module 必是 L(v_1) \otimes \ldots \otimes L(v_n) 的 comp. factor
其中 v_1, \ldots, v_n\in \Lambda_0

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