Chun-Ju Lai

與王偉強有約 – (5) Representations of Lie Algebras in Prime Characteristic

In Lie Algebra, Math, Representation on 2011/11/03 at 5:03 PM

Representations of Lie Algebras in Prime Characteristic,
Jens Carsten Janzten

摘要:

總算開始講我們主要關心的物件: reductive Lie algebra,
若 algebraic group 夠好, 我們就能發展理論,
state 出 KW conjecture 來將問題 reduce 成 nilpotent case
\chi is regular nilpotent, 那麼 U_\chi(g) 甚至會 semisimple, 我們並且能夠刻劃他的結構

6. Reductive Lie algebras

(A)
g 稱 reductive <=> g = Lie(G),
其中 G 為 connected reductive alg. grp

假設 G is “good”
(不同的文章有不同的 goodness, 可得到不同的好處)
(那些是專家考慮的, 我們別太執著)

找 G 的 maximal torus T, 可定 h = Lie(T) 並定出 n^\pm, b^\pm
我們知道 h, n^\pm, b^\pm 都是 restricted Lie subalg. , 並且 n^\pm unipotent
也知道 h is Abelian, 可定 1-dim h-module

\begin{array}{ccccc}H&\times&K_\lambda&\to&K_\lambda\\(h&,&m)&\mapsto&\lambda(h)m\end{array}

U_\chi(g) 的定義, 可寫下 K_\lambda 看成 U_\chi(g)-mod 的充要條件為

\lambda\in \Lambda_\chi:= \{\lambda; \lambda(h_i)^p - \lambda(h_i) = \chi(h_i)^p\text{ for all }i\}

(B)
由 algebraic group 的性質可證明
任何 \chi\in g^* 都 conjugate with \chi^1 滿足 \chi^1(n^+) = 0
猶記之前提過 U_\chi(g) 由 conjugacy class 決定
因此以後我們可假設 \chi(n^+) = 0

(C)
在這個前提下我們就可以對 \lambda\in \Lambda_\chi 定義 Baby Verma module

Z_\chi(\lambda) := \text{Ind}_\chi K_\lambda as a U_\chi(g)-mod

並證明

(1) 任何 U_\chi(g)-mod 都是某 Z_\chi(\lambda) 的 homomorphic image
(2) 若額外有 \chi(H) = 0, 則
若 simple \alpha 滿足 \chi(x_{-\alpha})\neq 0, 則 Z_\chi(\lambda) \simeq Z_\chi(s\alpha\cdot\lambda)

(1) 是因為分析 simple modules 的結構, 便知 K_\lambda \hookrightarrow M as U_\chi(b^+)-mod.
Apply exact contravar. functor \text{Ind}_\chi, 便得結果

(2) 則是真的構造, 由 dimension reason 證明 isomorphism

7. Premet Theorem

以下仍保留 6. 中的假設
Theorem.
m\leq g 為 unipotent subalgebra 滿足
a) m 與 centralizer c_g(\chi) 交集為空
b) \chi([m,m]) = 0
c) \chi(m^{[p]}) = 0
則每個 U_\chi(g)-mod 都 free over U_\chi(m)

這個定理有三個 applications

1. 定出 inverse equivalence of categories Mod U_\chi(g) \leftrightarrow Mod U_\chi(l)
其中 Levi subalg. l\leq g , 由 G is good 可知
l = centralizer c_g(\chi_s) for Jordan decomp. \chi = \chi_s + \chi_n

由此範疇等價, \chi 便可以 reduce 成 nilpotent case

2. [Kac-Weisfeiler Conjecture]
U_\chi(g)-mod M 來說,
p^{\dim G.\chi /2}|\dim M

便可用此定理刻劃 baby Verma module 何時 simple

3. 特別看 \chi: regular semisimple
那麼 U_\chi(g) 會是一個 semisimple algebra, 且

U_\chi(g)=\underset{p^{\dim(h)}}{\underbrace{M_n(K)\times\ldots\times M_n(K)}} 其中 n = p^dim(n^-)

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