Chun-Ju Lai

與王偉強有約 – (7) Representations of Lie Algebras in Prime Characteristic

In Lie Algebra, Math, Representation on 2011/11/17 at 5:04 PM

Representations of Lie Algebras in Prime Characteristic,
Jens Carsten Janzten

本次重點是 standard Levi form 所引生的 X/ZI-grading structure 給 {U_\chi(g)}-modules 帶來的好處

10. Standard Levi Forms

1.
從頭回想, 我們要研究 g-modules 其中 g = Lie(G) 為 f.d. reductive Lie algebra / alg. closed K of char p > 0 G: “good” algebraic group / K

a) 定義 p-character {\chi} in g* 之後, 便可定 restricted enveloping algebra {U_\chi(g)} 便能將 g-modules with p-character {\chi} 一一對應成 {U_\chi(g)}-modules

b) 由 Premet’s Theorem 的 corollary, 我們可以將問題 reduce 成 {\chi} : nilpotent 的 case 不失一般性, 可令 {\chi(b^+)} = 0

2.
{\chi} in g* 稱作有 standard Levi form 即它滿足
(S1) {\chi(b+)} = 0
(S2) 存在 {I\subset\Pi} (set of simple roots) 使得 for all {\alpha\in\Phi}, {\chi(x_{-\alpha})\neq0} iff {\alpha\in I}

這個定義乍看之下有點拗口, 不如換種說法, 在我們先前的假設下已有 (S1), 再先定

I:= {\{\alpha\in\Phi;\chi(x_{-\alpha})\neq0\}}

那麼 {\chi} in g* 稱作有 standard Levi form 即 {I\subset\Pi}

3.
在 char 0 case, Verma module {M(\lambda)} 有 uniq maximal submodule 因此就能定義 uniq simple module {L(\lambda)}

baby Verma module {Z_\chi(\lambda)}, {\lambda} in {\Lambda_\chi} 一般來說沒有 uniq max submod 特別看 {\chi} 有 std Levi form 時, {Z_\chi(\lambda)} 能證有 uniq max submod 因此 uniq simple quoteint {L_\chi(\lambda)} is well-defined

延伸下去, 能證明
(1) {L_\chi(\lambda)\simeq L_\chi(\mu)}
<=> {\lambda}{\mu} 落在同個 {W_I}-dot orbit
(2) {L_\chi(\lambda)} 的 projective cover {Q_\chi(\lambda)} 滿足 “類” BGG reciprocity
特別看 {\chi} 是 regular nilpotent 時, 由 KW conjecture 能證明
(3) {Z_\chi(\lambda)} 都 simple,
(4) {Z_\chi(\lambda)\simeq Z\chi(\mu)}
<=> {\lambda}{\mu} 落在同個 {W_I}-dot orbit
(5) {\text{End}_gQ_\chi(\lambda)} 同構於 coinvariant algebra of W

11. Graded Structures

1.
這裡的 Grading 是 X/{\mathbb{Z}}I-grading on {U_\chi(g)}-modules 其中 X = X(T) 是 character group of T; T 即 G 的 max. torus

{\lambda\in X} 代表 {\lambda:G\rightarrow G_m} 是個 algebraic group homomorphism 有對應的 differential {d\lambda:H\rightarrow K}, 是個 restricted Lie alg homomorphism 因此 {d\lambda\in\Lambda_0}

2.
以 Mod{U_\chi(g)} 表示 {U_\chi(g)}-modules 形成的 module category GrMod{U_\chi(g)} 表示 graded {U_\chi(g)}-modules 形成的 category 可以自然的定出 forgetful functor F: GrMod{U_\chi(g)\rightarrow} Mod{U_\chi(g)}

對每個 {\lambda\in X}, 我們都可定 “lifted” baby Verma module {Z^1_\chi(\lambda)} 和 “lifted” simple module {L^1_\chi(\lambda)} 使得 F{{ Z^1_\chi(\lambda)} } = {Z_\chi(d\lambda)} F{ {L^1_\chi(\lambda)} } = {L_\chi(d\lambda)}

也能證:
(1) {Z^1_\chi(\lambda)\simeq Z^1_\chi(\mu)}
<=> {L^1_\chi(\lambda)\simeq L^1_\chi(\mu)}
<=> {\lambda}{\mu} 落在同個 {W_I^{af}}-dot orbit
其中 {W_I^{af}} 是對應 I 的 affine Weyl group
(2) [Linkage Priciple]
{[Z^1_\chi(\lambda): L^1_\chi(\mu)]\neq 0}
<=> {\mu},{\lambda} 落在同一個 {W^{af}}-dot orbit
(3) {L^1_\chi(\lambda)} 的 projective cover {Q^1_\chi(\lambda)} 滿足 “類” BGG reciprocity

3.
{U_\chi(g)} 賦予 grading 之後能作的操作還有很多, 注意 GrMod{U_\chi(g)} 是個 direct sum of categories of the same copy C 將 C 再切割, 也能像 Category O 裡面一樣定 translation functors 並證明 translation functors 能定 inverse equivalence of categories

4.
特別看 “fundamental” {C_0} 我們可以 formulat 出 “affine” Lusztig Conjecture

{[Z^1_\chi(v\cdot\lambda_0):L^1_\chi(w\cdot\lambda_0)]=P_{k_I(v), k_I(w)}(1)}

{\chi} = 0 時能 reduce 成 classical KL conjecture 目前也只有部份情形能證

  1. 沒有更新???新文章哩~~敲碗~~

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