Chun-Ju Lai

Archive for the ‘Lie Algebra’ Category

與王偉強有約 – (7) Representations of Lie Algebras in Prime Characteristic

In Lie Algebra, Math, Representation on 2011/11/17 at 5:04 PM

Representations of Lie Algebras in Prime Characteristic,
Jens Carsten Janzten

本次重點是 standard Levi form 所引生的 X/ZI-grading structure 給 {U_\chi(g)}-modules 帶來的好處

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與王偉強有約 – (6) Representations of Lie Algebras in Prime Characteristic

In Lie Algebra, Math, Representation on 2011/11/10 at 5:03 PM

Representations of Lie Algebras in Prime Characteristic,
Jens Carsten Janzten

7. Premet Theorem

現在 g:reductive, \chi:nilpotent, 要用 Premet’s Theorem. 若 m{\leq} g 為 unipotent subalgebra 滿足
a) m 與 centralizer {c_g(\chi)} 交集為空
b) {\chi([m,m])} = 0 c) {\chi(m^{[p]})} = 0
則每個 {U_\chi(g)}-mod 都 free over {U_\chi(m)}

來證明 [Kac-Weisfeiler Conjecture]

{U_\chi(g)}-mod M 來說 {p^{\dim G.\chi /2}|\dim M}

(proof)

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與王偉強有約 – (5) Representations of Lie Algebras in Prime Characteristic

In Lie Algebra, Math, Representation on 2011/11/03 at 5:03 PM

Representations of Lie Algebras in Prime Characteristic,
Jens Carsten Janzten

摘要:

總算開始講我們主要關心的物件: reductive Lie algebra,
若 algebraic group 夠好, 我們就能發展理論,
state 出 KW conjecture 來將問題 reduce 成 nilpotent case
\chi is regular nilpotent, 那麼 U_\chi(g) 甚至會 semisimple, 我們並且能夠刻劃他的結構

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與王偉強有約 – (4) Lectures on Quantum Groups

In Lie Algebra, Math, Representation on 2011/10/27 at 4:58 PM

Lectures on Quantum Groups,
Jens Carsten Janzten

摘要:

這是這學期王家班的 reading course 讀物, 本週輪我報告,
要講 Chapter 5A, 即是 explicitly 構造有用的 Quantized enveloping algebra 的 modules

令 g 為 fd complex Lie algebra
k 為 field of char 0
q 為 k 中非 0 且非 root of unity 的元素

可定 Quantized enveloping algebra U = U_q(g)
\{K_a, K_a^{-1}, E_a, F_a; a\in\Pi\} 生成
並滿足以下條件

(R1) K_a K_a^{-1} = 1 = K_a^{-1} K_a; K_a K_b = K_b K_a
(R2) K_a E_b K_a^{-1} = q^{(a,b)} E_b
(R3) K_a F_b K_a^{-1} = q^{-(a,b)} F_b
(R4) E_a F_b - F_b E_a =\delta_{a,b} (K_a - \frac{K_a^{-1}}{q_a - q_a^{-1}} 其中 q_a:=q^{(a,a)/2}

(R5) \sum_{s=0}^{1-\langle b,a\rangle} (-1)^s {1-\langle b,a\rangle\choose s}_a E_a^{1-\langle b,a\rangle-s} E_b E_a^s = 0

(R6) \sum_{s=0}^{1-\langle b,a\rangle} (-1)^s {1-\langle b,a\rangle\choose s}_a F_a^{1-\langle b,a\rangle-s} F_b F_a^s = 0

我們構造 4 種 simple U-modules
並且給出 U-simple modules 描述結構面的理論

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與王偉強有約 – (3) Representations of Lie Algebras in Prime Characteristic

In Lie Algebra, Math, Representation on 2011/10/21 at 3:34 AM

5. sl_2(K)

這次我們把 sl_2(K) 的例子真刀真槍的算一次:
以下 g 表 Lie algebra over alg. closed field K of char p > 0
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與王偉強有約 – (2) Representations of Lie Algebras in Prime Characteristic

In Lie Algebra, Math, Representation on 2011/10/14 at 3:12 AM

Representations of Lie Algebras in Prime Characteristic,
Jens Carsten Janzten

摘要:

這是大師 Janzten 關於 modular representation theory 寫的 Review paper part I, 整篇的目的是介紹近幾十年來的研究成果, 一開始先簡單概述 modular case 和 char 0 case 的差異, 之後會發展各式理論, 把研究”reductive Lie algebra g 的 representations” reduce 成 “研究好的 restricted enveloping algebra-modules”. 最後在特別好的狀況下, 我們可以定 standard Levi form, 並給予 module 一個 X/ZI-grading, 在此 graded structure 下我們能得到許多新的資訊. 我將花幾個禮拜介紹:

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與王偉強有約 – (1) On Some Modular Representations of Affine Kac-Moody Algebras at the Critical Level

In Lie Algebra, Math, Representation on 2011/10/08 at 3:10 AM

今後以這個標題來連載選讀的 paper 摘要

On Some Modular Representations of Affine Kac-Moody Algebras at the Critical Level,
Oliver Mathieu

摘要:
對於 affine Kac-Moody algebra g, 我們有 Chevalley-Kostant Algebra U
在 char k = 0 時 U 就是正常的 universal enveloping algebra
在 modular case (char k = p > 0) 時, 要做一些變更.

類比於 Weyl character formula, Kac 和 Kazhdan 猜測,
在 char k = 0 時可以算出 simple highest weight module l(-\rho) 的 formal
character 如下

Thm 1
\text{ch}l(-\rho) = e(-\rho) \prod_{\alpha \in \Phi_{re}^+} \frac{1}{1-e(-\alpha)}

也就是說, imaginary roots 居然對 formal character 沒有貢獻!

這個結果有很多證明, 如
Wakimoto 1986 (sl2 case)
Hayashi 1988 (affine classical)
顧中民 1989 (in general)
Feigin & Frenkel 1992 (整理)

本篇 paper 證明這個公式在 modular case 也會是對的!
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[Notes] Representations of Semisimple Lie Algebras in the BGG Category O (Chp 11)

In Algebra, Lie Algebra, Representation on 2011/05/26 at 3:54 PM

http://tinyurl.com/3zshabv

Chapter 11 – Tilting Module

11.1 ~ 11.3
構造有點辛苦, 要對 translation functor 很熟
才能證明 indecomposable tilting modules 可以用 highest weight 去 index
並且這樣的構造唯一

所以 M is a tilting module <=> M is self-dual and has Verma flags

…我開始理解為什麼有人要研究 self-dual projective cover 了

11.4 ~ 11.5
研究 Grothendieck group 的 $K(\mathcal{O}_{\text{fd}})$-module structure

11.6 ~ 11.7
利用 classical fusion rule , 證明 $K(\mathcal{O}_{\text{fd}})$-module isomorphism
可以得到 reduced tensor product 的公式
也就是告訴我們怎麼樣的 Tilting module 會在 tensor 後留下來, 留多少.

11.8
給一些文獻 reference 說以上的定理在 parabolic version 下也會對

[Notes] Representations of Semisimple Lie Algebras in the BGG Category O (Chp 10)

In Algebra, Lie Algebra, Representation on 2011/05/17 at 3:39 PM

http://tinyurl.com/3vf9xqz

Chp 10 Projective Modules

簡介 projective functor 的概念如下:
簡單的講就是要通透 tensoring with f.d. modules over $\mathbb{C}$
(以下以 $\otimes$  表示 tensoring over $\mathbb{C}$)

1.
我們看 $\mathcal{M}$ := Mod U(g), 可以定一個 functor
$F_L : \mathcal{M} \to \mathcal{M}$ by  $M$ $\mapsto$  $L\otimes M$
其中 F 是 projective functor if F is a direct summand of $F_L$

2.
這裡我們要注意, 什麼是 direct sum of functors?
在一般的 category 裡面我們有 (direct) sum 的定義,
因此我們可以看一個 category with objects = functors
                                morphisms = natural transformations
便可以講 direct sum of functors

3.
In particular, 我們在 Category O 中,
可以藉由觀察 F 把 $\mathcal{M}(\chi):= \{ M : \langle \text{ker}\chi\rangle M = 0 \}$ 中的
Verma module $M(\lambda)$ 打到哪個 projective cover $P(\mu )$ 來決定

也因此, 雖然在 Bernstein & Gelfand 的 paper 中, 花了一番功夫證明
projective functor 在比較 general 的情況,
也就是 full subcategory $\mathcal{M}_{\text{zf}}$ = finitely generated Z-finite U(g)-modules  中,
任何 proj. functor 都可以拆成 direct sum of indecomposable proj. functors

但是我們可以藉由上面的觀察, 直接論述 Category O 中,
任何 proj. functor 都可以拆成 direct sum of indecomposable proj. functors

4.
因此我們可以試圖證明 classification theorem for indecomp. proj. functors
分成以下步驟:

     (a) 證明 given dominant weight \lambda
         和 proj. $\chi$-functors F, G ( restriction of proj. functor on $\mathcal{M}(\chi)$ )
         有:
         $\text{Hom}(F,G) = \text{Hom}_O (F M(\lambda), G M(\lambda))$

         也就是 natural transformation of funtors
         和 homomorphism between some proj. modules 是”一樣”的

         也因此
         decomposition of functors
         和
         decomposition of modules 一一對應

     (b) 證明 given proj. functor F,
         $F^\infty(\chi)$ := restriction of F on $\mathcal{M}^\infty(\chi)$
           $F(\chi)$ := restriction of F on $\mathcal{M}(\chi)$
             其中 $\mathcal{M}^\infty(\chi) = \{M : \langle\text{ker}\chi\rangle^n M = 0\text{ for some } n \gg 0 \}$
         則
           (1) $F^\infty(\chi)$ 由 $F(\chi)$ 唯一決定
           (2) $f:F(\chi)\to G(\chi)$ extends to $f:F^\infty(\chi)\to G^\infty(\chi)$
               並 preserves isomorphism & isempotency

     (c) 令 $\Xi$:= $\{ (\lambda,\mu ) \in H^* \times H^* : \text{ compatible } \}$
            $\Xi_0$ := the orbit under group action

                $W\times\Xi\to\Xi$ by sending
               $(w , (\lambda,\mu ))$ to $(w\cdot\lambda,w\cdot\mu )$

         Given orbit $\xi\in\Xi_0$,
         $(\lambda,\mu ) \in \xi$  稱 proper pair if
               (1) $\lambda$ is dominant
               (2) $\mu$  is minimal in $W_\lambda\cdot\mu$
                   其中 $W_\lambda$ 是 $\lambda$ 的 dot action stabilizer

         則我們有以下 bijection
         $\Xi_0$ <-> {indecomp. proj. functors}
         $\xi$                  $F\xi$

         滿足若 $\xi$  有 proper pair $(\lambda,\mu )$
             則 $F\xi : M(\lambda) \mapsto P(\mu )$

5. sketch proof of (a)

一般來說, $\text{Hom}(F,G) \to \text{Hom}_O(FM(\lambda), GM(\lambda))$ 是個 injection
證明是真的把 natural map 寫出來,
用 Duflo 定理 ( $\text{Ann} M(\lambda) = \langle\ker\chi\rangle$ )
便能證得 1-1

要證 isomorphism, 便要證
$\text{dim~ Hom}(F,G) \geq \text{dim~Hom}_O(FM(\lambda), GM(\lambda))$
拆成最小單位, 令 $F= F_V, G= F_L$
LHS 可以用 Kostant 定理算得是 $\dim (V^*\otimes L)_0$
RHS 直接算出 Verma modules 出現在 $V*\otimes L$ tenors $M(\lambda)$ 的重數  $\leq \dim (V^*\otimes L)_0$

6. sketch proof of (b)

考慮 2-sided ideal $J:= \langle\ker \chi\rangle$ in U(g)
那 $H^n := \text{Hom}(F^n(\chi), G^n(\chi))$ 可以用 被幾次 J 殺掉來 induce J-adic topology

直接計算 $H^\infty$ is complete in the J-adic topology

換一種想法, 因為 $\mathcal{M}^n(\chi)$ 元素中可視為 n 次 extensions of elements in $\mathcal{M}(\chi)$
所以 $F^n(\chi)$ 可由 $F(\chi)$ induce
也因此 $F^\infty (\chi)$ 可由 completeness 保證

7. sketch proof of (c)

由 (a), (b) 可保證 indecomposability
再由以下 criterion 得證:

    Lemma Given $\lambda$:dominant, TFAE:
        1. 存在 f.d. L 使得 $P(\mu )$ 是 $M(\lambda)\otimes L$ 的 direct summand
        2. 存在 f.d. L 使得 $\text{dim ~Hom}_O (M(\lambda)\otimes L, L(\mu )) \neq 0$
        3. $(\lambda,\mu )$ is proper

8.
   以上 classification theorem 有個 corollary:

   由之前 translation functors 的 propositions,
   得知 wall-crossing functor 把 $M(w_\lambda\cdot\lambda)$ 打到 $P(w_\lambda s\cdot\lambda)$
   因為 $(w_\lambda\cdot\lambda, w_\lambda s\cdot\lambda)$ is proper in its orbit

   因此 wall-crossing functor 確實 independent of $\mu$

Projective Functors

In Algebra, Lie Algebra, Representation on 2011/05/17 at 3:42 AM

這篇簡單介紹 Bernstein and Gelfand 的 paper:

Tensor Products of Finite and Infinite Dimensional Representations of Semisimple Lie Algebras
http://tinyurl.com/68aj3cc

§1

Projective Functor 聽起來很友善
但是不是那麼一回事 哈哈

他的設定是:
$\mathfrak{g}$       := complex semisimple Lie algebra (或 over field of char 0)
$U(\mathfrak{g})$    := universal enveloping algebra
$\mathcal{M}$       := Mod $U(\mathfrak{g})$

$F_L$     := functor on $\mathcal{M}$ by $m \mapsto m\otimes L$
           其中 L 是個特定的 finite dimensional module

Functor F 稱作 Projective functor 即

        F 是 $F_L$ 的 direct summand

§2

但這是什麼意思? functor 的 direct summand?
就要考慮

$\mathcal{M}_{Zf}$     := Z-finite $U(\mathfrak{g})$-mod. 形成的 full subcategory of $\mathcal{M}$

我們可以定一個 category C 使
$\text{ob} C$ = morphisms of functors on $\mathcal{M}_{Zf}$
$\text{Mor} C$ = natural transformations of functors on $\mathcal{M}_{Zf}$

才可以討論 direct sum of functors.

§3

為什麼要叫這個為 projective functor 呢?
理由是 projective functor takes projective modules to projective modules.
不要和 projective module P 對應的 exact functor $\text{Hom}(P,-)$ & $\text{Hom}(-,P)$ 搞混了

§4

也因此, 之前我們研究的 translation functor 可以寫成

        $\text{Pr}(\chi_1)\circ F_L \circ Pr(\chi_2)$
        其中 $\text{Pr}(\chi)$ 為 projection on subcategories wrt  $\chi$
        所以 translation functor 也是個 projective functor

§5

這篇 reference 中, 目的是將 indecomposable projective fucntors 分類
而且可以將它 indexed by 觀察 $M(\lambda)$ 被送到哪個 $P(\mu)$ 去

最後便可以研究 Harish-Chandra modules 的分類.
也可以證明 Pricipal series modules 和 Verma modules in $\mathcal{O}$ 的關聯