Chun-Ju Lai

Archive for the ‘Math’ Category

與王偉強有約 – (7) Representations of Lie Algebras in Prime Characteristic

In Lie Algebra, Math, Representation on 2011/11/17 at 5:04 PM

Representations of Lie Algebras in Prime Characteristic,
Jens Carsten Janzten

本次重點是 standard Levi form 所引生的 X/ZI-grading structure 給 {U_\chi(g)}-modules 帶來的好處

Read the rest of this entry »

與王偉強有約 – (6) Representations of Lie Algebras in Prime Characteristic

In Lie Algebra, Math, Representation on 2011/11/10 at 5:03 PM

Representations of Lie Algebras in Prime Characteristic,
Jens Carsten Janzten

7. Premet Theorem

現在 g:reductive, \chi:nilpotent, 要用 Premet’s Theorem. 若 m{\leq} g 為 unipotent subalgebra 滿足
a) m 與 centralizer {c_g(\chi)} 交集為空
b) {\chi([m,m])} = 0 c) {\chi(m^{[p]})} = 0
則每個 {U_\chi(g)}-mod 都 free over {U_\chi(m)}

來證明 [Kac-Weisfeiler Conjecture]

{U_\chi(g)}-mod M 來說 {p^{\dim G.\chi /2}|\dim M}

(proof)

Read the rest of this entry »

與王偉強有約 – (5) Representations of Lie Algebras in Prime Characteristic

In Lie Algebra, Math, Representation on 2011/11/03 at 5:03 PM

Representations of Lie Algebras in Prime Characteristic,
Jens Carsten Janzten

摘要:

總算開始講我們主要關心的物件: reductive Lie algebra,
若 algebraic group 夠好, 我們就能發展理論,
state 出 KW conjecture 來將問題 reduce 成 nilpotent case
\chi is regular nilpotent, 那麼 U_\chi(g) 甚至會 semisimple, 我們並且能夠刻劃他的結構

Read the rest of this entry »

與王偉強有約 – (4) Lectures on Quantum Groups

In Lie Algebra, Math, Representation on 2011/10/27 at 4:58 PM

Lectures on Quantum Groups,
Jens Carsten Janzten

摘要:

這是這學期王家班的 reading course 讀物, 本週輪我報告,
要講 Chapter 5A, 即是 explicitly 構造有用的 Quantized enveloping algebra 的 modules

令 g 為 fd complex Lie algebra
k 為 field of char 0
q 為 k 中非 0 且非 root of unity 的元素

可定 Quantized enveloping algebra U = U_q(g)
\{K_a, K_a^{-1}, E_a, F_a; a\in\Pi\} 生成
並滿足以下條件

(R1) K_a K_a^{-1} = 1 = K_a^{-1} K_a; K_a K_b = K_b K_a
(R2) K_a E_b K_a^{-1} = q^{(a,b)} E_b
(R3) K_a F_b K_a^{-1} = q^{-(a,b)} F_b
(R4) E_a F_b - F_b E_a =\delta_{a,b} (K_a - \frac{K_a^{-1}}{q_a - q_a^{-1}} 其中 q_a:=q^{(a,a)/2}

(R5) \sum_{s=0}^{1-\langle b,a\rangle} (-1)^s {1-\langle b,a\rangle\choose s}_a E_a^{1-\langle b,a\rangle-s} E_b E_a^s = 0

(R6) \sum_{s=0}^{1-\langle b,a\rangle} (-1)^s {1-\langle b,a\rangle\choose s}_a F_a^{1-\langle b,a\rangle-s} F_b F_a^s = 0

我們構造 4 種 simple U-modules
並且給出 U-simple modules 描述結構面的理論

Read the rest of this entry »

與王偉強有約 – (3) Representations of Lie Algebras in Prime Characteristic

In Lie Algebra, Math, Representation on 2011/10/21 at 3:34 AM

5. sl_2(K)

這次我們把 sl_2(K) 的例子真刀真槍的算一次:
以下 g 表 Lie algebra over alg. closed field K of char p > 0
Read the rest of this entry »

與王偉強有約 – (2) Representations of Lie Algebras in Prime Characteristic

In Lie Algebra, Math, Representation on 2011/10/14 at 3:12 AM

Representations of Lie Algebras in Prime Characteristic,
Jens Carsten Janzten

摘要:

這是大師 Janzten 關於 modular representation theory 寫的 Review paper part I, 整篇的目的是介紹近幾十年來的研究成果, 一開始先簡單概述 modular case 和 char 0 case 的差異, 之後會發展各式理論, 把研究”reductive Lie algebra g 的 representations” reduce 成 “研究好的 restricted enveloping algebra-modules”. 最後在特別好的狀況下, 我們可以定 standard Levi form, 並給予 module 一個 X/ZI-grading, 在此 graded structure 下我們能得到許多新的資訊. 我將花幾個禮拜介紹:

Read the rest of this entry »

Galois theory 與 Invariant theory

In Algebra, Math on 2011/10/11 at 2:47 AM

日前在讀 Reflection groups 的 invariant theory
Galois theory 在我意想不到的地方出現了!
能用來證明, Coxeter group W\leq GL(V) 中包含 -1  iff 所有 W 中 basic invariants 的 degree 都是偶數!
Read the rest of this entry »

與王偉強有約 – (1) On Some Modular Representations of Affine Kac-Moody Algebras at the Critical Level

In Lie Algebra, Math, Representation on 2011/10/08 at 3:10 AM

今後以這個標題來連載選讀的 paper 摘要

On Some Modular Representations of Affine Kac-Moody Algebras at the Critical Level,
Oliver Mathieu

摘要:
對於 affine Kac-Moody algebra g, 我們有 Chevalley-Kostant Algebra U
在 char k = 0 時 U 就是正常的 universal enveloping algebra
在 modular case (char k = p > 0) 時, 要做一些變更.

類比於 Weyl character formula, Kac 和 Kazhdan 猜測,
在 char k = 0 時可以算出 simple highest weight module l(-\rho) 的 formal
character 如下

Thm 1
\text{ch}l(-\rho) = e(-\rho) \prod_{\alpha \in \Phi_{re}^+} \frac{1}{1-e(-\alpha)}

也就是說, imaginary roots 居然對 formal character 沒有貢獻!

這個結果有很多證明, 如
Wakimoto 1986 (sl2 case)
Hayashi 1988 (affine classical)
顧中民 1989 (in general)
Feigin & Frenkel 1992 (整理)

本篇 paper 證明這個公式在 modular case 也會是對的!
Read the rest of this entry »

台大 OpenCourseWare

In Math on 2011/10/06 at 2:44 AM

http://case.ntu.edu.tw/CASTUDIO/

響應 MIT

淺談代數拓樸

In algebraic topology, Math, Topology on 2011/09/17 at 4:47 PM

1.
我將代數拓樸分為兩部份: 理論面與計算面

代數拓樸的出發點當然是構造拓樸空間的 homeomorphic/homotopic 不變量,
藉以區分不同的拓樸空間.

最直接的例子就是 fundamental group.

對一個 path-connected space X 來說,
我們可經由各種工具計算出他的 fundamental group
但是對我們來說, 一個 group 帶給我們的資訊太少了,
總是可以找到一些特例, 不能用 fund. group 區分.

第一步, 我們試圖推廣 fund. groups 得到一個 sequence of grps, 稱 homotopy grps

{ \pi_n(X); n = 1,2,3, … }

雖然這個很強, 但是高維 homotopy grps 實在是太難算了, 因此我們改看它的親戚 homology groups

{ H_n(X); n = 0,1,2, … }

homology groups 相對好算許多, 但是仍然有一些狀況我們不能由 homology groups分辨, 因此我們可以看 cohomology groups

{ H^n(X); n = 0,1,2, … }

雖然比 homology groups 難算一點, 但是他有 homology groups 沒有的自然的 ring structure (理由見最後), 可以給我們更多資訊, 這些 sequences of groups 便是理想的不變量
Read the rest of this entry »